lunedì 6 novembre 2017

Logic Lane testi e video

Sai che niente esiste naturalmente? Sai che ogni cosa che esiste esiste solo in virtù di una sfida che ad essa è lanciata, e a cui essa è obbligata a rispondere? 
Io non sono sicuro di saperlo ancora tanto bene: ho l'impressione che tu lo sappia già meglio di me, che tu stia imparando a muoverti sull'orlo dell'abisso, accompagnata da una vertigine dolce.
Noi non abbiamo imparato granché scrivendo questo libro: forse per questo a qualcuno servirà...
UAU (Antonio) 14/5/80 
(Dedica a Marisa Bello su copia del libro 'Nei labirinti della fantascienza')

Video:
https://www.dropbox.com/sh/t65r2yj9qn2uyp1/AADz0O3FOmS4soQzk0Jxcj68a?dl=0

Alessandro Bertante
Alessandro Sansoterra
Amos Bianchi
Antonio Tursi   TESTO
Chiara Balsamo
Daniele Brolli
Domenico Gallo
Eleonora Fiorani  TESTO
Fabio Malagnini
Francesco Monico
Franco Berardi
Gabriela Galati
Giovanni Leghissa
Giuliano Spagnul  TESTO
Jaromil Rojo  TESTO
Loretta Borrelli  TESTO 
Marco Mancuso
Massimiliano Viel  TESTO
Massimo Canevacci
Maurizio Guerri
Mauro Folci  TESTO
Paolo Gallerani  TESTO
Patrizia Moschella
Pier Luigi Cappucci
Simone Guidi
Simonetta Fadda TESTO 
Stefano Caronia e Francesca Consonni
Tatiana Bazzichelli
Tommaso Tozzi


sabato 28 ottobre 2017

Sulla Teoria delle Catastrofi, intervista ad Antonio Caronia di Ilaria Beretta

Antonio Caronia, cortile dell'Accademia di Brera, fotografia di Ilaria Beretta

L’ intervista è avvenuta il 20 giugno 2007 a Milano in seguito a una richiesta di
Paolo Gallerani ad Antonio Caronia, anche come preparazione di una futura presentazione del tema nel Corso di Scultura dell’ Accademia di Brera.

(Al momento della registrazione la discussione era già in corso.)
Si parla molto di “teoria delle catastrofi”, sia a livello di definizione, che di applicazione in
tutti gli ambiti, dalla psicologia, all’arte, all’architettura. Partendo da Buckminster Fuller, si arriva alle tensostrutture e ai crolli che ci sono stati a causa del punto debole delle strutture, per esempio nell’ombelico parabolico. Come si può spiegare questa teoria?
Antonio Caronia
È un argomento molto delicato, che richiede molta attenzione sia nei termini che nelle applicazioni. Intanto “teoria delle catastrofi” non vuol dire automaticamente teoria dei crolli, è una cosa diversa. Quando il matematico francese René Thom la formulò, questa teoria gli serviva per spiegare la nascita delle forme, e infatti il termine “morfogenesi” compare nei titoli di entrambi i suoi libri più importanti. Il termine “catastrofe”, che Thom naturalmente utilizza, indica semplicemente che nel processo che dà origine alle forme c’è un certo rapporto tra continuità e discontinuità, che ci sono dei momenti di rottura, che egli descrive appunto come le sette “catastrofi elementari”.
Anche se questo è il nome con cui la teoria si è poi diffusa anche in ambienti non matematici, resta comunque un nome equivoco, che tra l’altro non è il nome che ha usato lui. A quanto mi ricordo, anche nelle interviste,Thom è sempre stato molto cauto. Sia sul termine che sulla possibilità di applicarla a processi concreti. E lui ha sempre pensato prevalentemente alla biologia, alla nascita delle forme biologiche.
Quanto alle applicazioni, che io mi ricordi, la cosa più interessante di quegli anni non era forse l’applicazione all’arte, quanto a fenomeni sociali. Per esempio il modello che il matematico inglese Zeeman elaborò per spiegare, o addirittura prevedere, le rivolte nelle carceri, e che diede origine a un sacco di polemiche. È un modello della metà degli anni Settanta, perché il libro di Thom, Stabilità strutturale e morfogenesi, uscì in Francia nel 1972, e in Gran Bretagna mi pare nel 1975, ma in Italia arrivò più tardi, solo nel 1980.
In realtà quello è un libro che, almeno in Italia, lessero quasi soltanto i matematici, perché un non matematico riesce a leggere le prime cinquanta o sessanta pagine, poi si perde. Quando uno comincia a leggere cose come “accoppiamento termodinamico”, o “hamiltoniana indipendente dal tempo”, be’, è ben difficile che ci capisca qualcosa e quindi lascia perdere.
Io, un po’ casualmente ho una laurea in matematica, perciò qualcosa in più ci capisco, però non è stata una lettura semplice neanche per me, e quindi non l’ho mai approfondita più di tanto.
– Infatti io mi rifacevo prevalentemente alle rappresentazioni grafiche…
– Certo le rappresentazioni grafiche aiutano, e infatti sono quelle su cui si è ragionato di più. Poi ci sono anche libri un po’ più divulgativi, per esempio quello di Woodcock  e Davis che si chiama appunto La teoria delle catastrofi, c’è anche un intervista di Thom a Giorello che si può ancora trovare, credo, in biblioteca. Comunque, i modelli delle catastrofi elementari sono appunto questi che mi stai facendo vedere. Dove li hai presi?
– Su internet, poi ho visto che sono stati applicati all’ arte, in questo caso alle opere 
di Piero della Francesca, quindi?  
– Ah be’… per via delle pieghe del vestito della Madonna…
– Sì, ma anche le linee forza della costruzione dell’opera e, quindi anche in scultura 
si ritrovano.
– Sì, questa qui me la ricordo, tra l’altro ne parlammo proprio con Giovannoli ai tempi del dossier su arte e scienza per la rivista Se. Scienza Esperienza….e be’, perché poi qui c’è proprio una cuspide..
– Sì, si forma la cuspide, poi la parabola  tutte queste forme.

Ilaria Beretta. Struttura a ombelico ellittico, 2010 - Ferro, acciaio e legno, cm. 100x100x68

– Allora, in realtà bisogna stare attenti a non fare una rappresentazione e un uso troppo banale di questi strumenti, questi sono spazi astratti che possono modellizzare fenomeni anche molto distanti, non è detto che dobbiamo trovare esattamente le stesse forme visibili nel dipinto o nella scultura, nell’opera in genere. Possiamo costruire anche modelli più astratti, d’altra parte questa è una cosa che le scienze fanno da sempre, la matematica o la fisica si costruiscono su analogie concettuali più che su somiglianze di forme, anche se queste, come appunto ci diceva Thom, hanno la loro importanza.
– Poi ho anche guardato i lavori del professore Paolo Gallerani, dove ritrovo queste cose.
 Questo invece è il lavoro che sto facendo io, è una scultura di pietra che riprende proprio
 la piega rappresentata da Thom, con l’ombelico catastrofico e la rete.
– Certo, qui ci puoi trovare proprio le linee di forza del modello.
– Sì, la rete che a un certo punto fa una piega dando origine all’ombelico catastrofico,
 io sto lavorando su questo, anche il modellino di rete è importante.
Poi, faccio riferimento all’arte per continuare.
– Ma certo, non dico che non sia pertinente..
– Forse azzardata ?
– Non lo so, forse no. Dico solo che si possono fare applicazioni anche più … diciamo generalizzate, che non sono semplicemente legate alla forma visibile o spaziale di una certa opera. Questo perché in realtà la teoria di Thom aveva l’ambizione di spiegare la genesi, o una possibile genesi, o meglio, una modellizzazione matematica della genesi di forme di qualunque tipo e le sue così dette catastrofi, queste…
– questi cambi di direzione.
…questi cambi di direzione improvvisi, queste strutture che emergevano, tendevano a spiegare le forme non in modo, per così dire, diretto, ma anche a un livello più astratto. Insomma, la teoria di Thom ha l’ambizione di spiegare le strutture più profonde…
– Cioè, non è soltanto una pura cuspide.
– Esatto, si può trovare una struttura a cuspide anche in una cosa in cui la cuspide non si vede.
– Sì, lui parlava anche della filosofia dei discorsi, degli scontri di opinioni.
– E infatti, le prime applicazioni della teoria, se non ricordo male, tra la fine degli anni Settanta e i primi anni Ottanta, furono applicazioni di questo tipo. Per esempio quella di Zeeman ed altri scienziati, come ho ricordato, alla spiegazione delle rivolte nelle carceri.
Era un periodo turbolento in tutto il mondo, anche in USA, e negli anni Settanta c’era stata una rivolta nella prigione di Attica, affollata di detenuti neri, che aveva fatto scalpore. Zeeman applicò una delle strutture della teoria di Thom all’analisi di quei fatti, mi pare fosse la catastrofe a farfalla, non so se ricordo bene, perché poi sono strutture complesse…
Insomma, Thom aveva dimostrato che certe trasformazioni di spazi avevano solo sette modelli possibili, che lui chiama le catastrofi elementari. In ogni processo nel quale era in gioco la creazione di forme nuove, Thom vedeva all’opera uno di questi modelli, o anche più di uno, insomma era una strumentazione complessa in cui spesso quei modelli elementari erano inglobati gli uni negli altri, però erano in gioco solo quelli, le famose sette catastrofi.
Dal punto di vista delle forme, con Giovannoli e altri, tentammo di fare degli esempi, e il caso più semplice è forse quello di ritrovare pari pari quei modelli nella storia dell’arte o in certe figure. La questione però si poteva allargare, si potevano costruire dei modelli più astratti, che riguardano non solo i processi di formazione delle forme visibili, ma la modellizzazione di forme, per così dire, astratte. Tutte queste trasformazioni indicano quanto possa essere vasto il campo di applicazione della teoria.
– Sì, infatti anche lavorando sul tema della rete sono arrivata a qualcosa di simile; anche la rete è un modello in molti campi, ad esempio è un modello per la costruzione delle città, 
è un modello a livello grafico,  ma oggi c’è anche la rete delle relazioni e della virtualità.
– Sì, certo.
– Quindi c’è anche un aspetto invisibile e, questo lo rivedo nella teoria delle catastrofi
 da un punto di vista più ideale.
– Ci si può vedere anche questo, volendo, ma in realtà i modelli matematici della morfogenesi di Thom forse non sono i più adatti a modellizzare bene una rete. Per le reti ci sono altre teorie matematiche più utili, la più importante delle quali è forse la teoria dei grafi.
Un grafo è una struttura geometrica fatta da una serie di punti detti nodi, collegati l’uno con l’altro in vario modo da una serie di percorsi e di tracciati che si chiamano archi. Quindi un insieme di archi e di nodi forma un grafo, e la teoria dei grafi appartiene a
quella parte della matematica che si chiama topologia, che poi è una generalizzazione della geometria, ed è utile per capire non solo la struttura delle reti telematiche, ma anche di molte delle creazioni logiche e grafiche dell’informatica.
Ci sono dei problemi antichi della matematica che sono rimasti a lungo insoluti e sono collegati alla teoria del grafi, uno di questi è il famoso problema dei sette ponti di Könisberg.
– Sì, la questione dei passaggi.
– Könisberg è la città natale di Kant, che un tempo faceva parte della Prussia orientale, e oggi è russa (e si chiama Kaliningrad). Be’, lì c’erano sette ponti e la questione nasceva sul se e come fosse possibile attraversarli tutti, uno dietro l’altro, senza ripassare mai due volte per lo stesso ponte.
Questo problema è collegato con un altro, apparentemente di tutt’altra natura, che è quello del numero minimo di colori necessario per colorare una carta geografica in modo che nessuna coppia di paesi confinanti venga colorata con lo stesso colore.
Si sa che questo numero è 4, non si può fare una carta geografica con meno di 4 colori, se si vuole che tutti i paesi adiacenti abbiano un colore diverso. Ma a lungo questo risultato è stato un risultato empirico, non si riusciva a trovare un ragionamento logico o matematico che fornisse una dimostrazione rigorosa di questa asserzione.
Ad un certo punto questo problema venne collegato con la teoria dei grafi: si adottò una modellizzazione della carta geografica come se i paesi fossero dei punti, e quelli confinanti fossero collegati da un arco (cioè fossero dei nodi). In questo modo il problema dei quattro colori diventava equivalente a un problema di cammino minimo per percorrere tutti i nodi di un grafo, di cui un caso particolare era il problema dei ponti di Könisberg. Ma neanche la riduzione di questo problema chiaramente topologico ad un problema di grafi ne assicurò la dimostrazione, che arrivò soltanto 10 o 15 anni fa con l’ausilio del calcolatore.
La teoria di Thom, secondo me, era interessante perché da un lato reagiva a una certa astrattezza della matematica tradizionale, soprattutto francese, incarnata e simboleggiata dalla così detta scuola di Bourbaki. Questo era un nome collettivo, con il quale un gruppo di matematici francesi, negli anni Cinquanta, tutti rigorosamente anonimi, si era dedicato a un lavoro di sistemazione della matematica riassunto in un’opera monumentale in più volumi, gli Éléments de Mathématique (Elementi di Matematica). Dietro a quella sigla si nascondevano alcuni dei più importanti matematici francesi dell’epoca, tra cui per esempio André Weil, e la loro impostazione era assolutamente formalista e rigorosamente astratta.
– Ma anche la teoria di Thom nasce nell’ambito di quella scuola?
– No, anzi, nasce in polemica con quell’impostazione. Thom aveva collaborato in gioventù con il gruppo Bourbaki, ma era rimasto presto insoddisfatto di quel formalismo, come spiega bene anche nell’intervista con Giulio Giorello uscita in Italia (Parabole e catastrofi). La sua idea era di rendere la matematica più “concreta”, cioè di avvicinarla ad una serie di problemi reali che fra i quali, secondo lui, c’era questo problema della genesi delle forme: e infatti il libro in cui espone per la prima volta la sua teoria si chiama Stabilità strutturale e morfogenesi.
Secondo me l’interesse principale di questa teoria stava in due fatti, uno che, pur utilizzando strumenti matematici molto forti e potenti, li riconduceva a una cosa  più vicina all’esperienza, come è appunto il problema della genesi delle forme; e l’altro, be’, l’altro è una tematica tipica e tradizionale della matematica, ma Thom trovava un modo nuovo di affrontarla. Parlo di una della dialettiche fondamentali della matematica, che a volte diventa anche una contraddizione, ed è la polarità fra il continuo e il discreto… “Discreto”, in matematica, non è una persona che si fa i fatti suoi! Scherzo:  un ente matematico “continuo” è un ente formato da una serie di elementi, per esempio i punti di una retta, che affollano in maniera incredibile il loro supporto.  Se prendi un segmento di retta, i punti che ci stanno sopra sono infiniti, anche se il segmento è limitato, e per quanto vicini tu possa prendere due punti, puoi sempre trovarne un altro che sta  in posizione intermedia tra i due. Un insieme così (i punti di una retta, e i numeri che li rappresentano, che si chiamano “numeri reali”) è un insieme che si chiama “continuo”. Ma se tu dividi la retta in tanti segmenti tutti uguali, e consideri solo gli estremi di quei segmenti (i numeri che gli corrispondono sono i numeri interi), fra due estremi non c’è nessun altro estremo di segmento. Allora un insieme così si chiama “discreto”. Quindi i numeri interi sono un insieme discreto, mentre i numeri reali sono un insieme continuo.
La matematica greca, che per secoli fu la matematica per definizione, cioè quella degli Elementi di Euclide, non aveva riflettuto tanto su questa differenza. La matematica di Euclide è essenzialmente geometria (in cui il continuo c’è, naturalmente) e aritmetica (in cui invece il continuo non c’è, perché si parla solo di numeri interi o frazionari, quindi insiemi discreti).
Ma quando col XV e XVI secolo attraverso gli arabi arrivò l’algebra (che era stata sviluppata dalla matematica indiana, mentre in Occidente non se ne sapeva nulla), le cose cambiarono. Gli studi algebrici e le esigenze di una nuova fisica portarono così Newton e Leibniz, nel XVII secolo, a fondare un nuovo strumento matematico, la cosiddetta  “analisi matematica”, o calcolo differenziale e integrale, che si sviluppò poi nel Settecento e venne sistemato rigorosamente nell’Ottocento.
Questa matematica è il regno del continuo: tutti i teoremi, tutte le strutture di questa analisi matematica riguardano il continuo, che diventa anche sinonimo di
funzionamento regolare, di ciò che funziona regolarmente: faccio il grafico di una funzione, risolvo l’ equazione, trovo i valori… tutto regolare, insomma.
– Cioè tutto quello che può essere calcolato e previsto?
– Sì, tutto quello che può essere calcolato, previsto e che non crea problemi, in cui tutto il funzionamento di questi enti matematici è sensibilmente regolare. Ogni tanto però…
– … ci sono dei problemi.
– Eh sì, dei problemi. Si trovano, o funzioni che non sono definibili, o punti di queste funzioni in cui capitano delle cose strane, e questi sono i così detti punti di  discontinuità, che sia i matematici che i fisici chiamano singolarità.
In fisica la singolarità più famosa è quella del Big Bang, l’istante dell’origine dell’universo, cioè un momento prima del quale non c’è niente, non esiste l’universo, quindi non esistono neanche spazio, né tempo.
E ad un certo punto, in un istante, tutto si crea: materia, spazio, tempo, tutto quanto insieme, questa è una singolarità!
Quindi… se tu vai a descrivere matematicamente questa cosa, trovi una o più funzioni le quali hanno in quel momento un punto di discontinuità o di singolarità, in cui quindi, se tu vai a fare certi calcoli, escono fuori dei valori infiniti… Ora il grosso problema qual è? È che spesso le cose significative non capitano nei momenti di continuità, in cui le cose vanno tutte bene, ma capitano quando ci sono i casini! Quelli sono istanti, momenti, situazioni particolari, in cui la logica del continuo e quella del discreto devono combinarsi.
René Thom riprende questa cosa e ci dice: “Attenzione, è vero che ci può essere una genesi delle forme che avviene con continuità, cioè aggiungendo un tassellino per volta, a poco a poco, o modificando…”; come avviene in un programma di computer, nel cosiddetto morphing, quando si trova un algoritmo che a poco a poco passa da una cosa in un’altra, si cambia la mia faccia con la tua, per esempio, o ci trasforma tutti e due in una scimmia, o… in una televisione, insomma, in qualsiasi cosa.
Spesso però, dice Thom, le forme si creano invece con processi che non sono continui, ma discontinui, ecco perché le ha chiamate Catastrofi.
Quindi, quando lui fa questi dispiegamenti trova, con un armamentario matematico abbastanza complesso, riesce a dimostrare che questi possono essere solo di sette tipi, e questi tipi sono le sette catastrofi elementari. Quindi la cuspide… la cuspide è la più semplice perché ha una sola dimensione, o due… adesso non ricordo, poi c’è quella a farfalla, la coda di rondine, e poi gli ombelichi, parabolici e iperbolici, che sono quelli più complicati perché hanno un numero di dimensioni maggiore.
Quindi, la sua idea è quella di connettere in un modo nuovo la continuità con la discontinuità, e questo più o meno gli riesce, anche perché di fatto utilizza strumenti matematici classici, però li utilizza con una grande inventività, che è una cosa buona, da un certo punto di vista…
Poi… poi Thom si è un po’ spaventato quando ha visto che uso si poteva fare di questa cosa, quando si è accorto che molti cercavano di applicare la sua teoria ai campi più disparati. Bisogna dire  che in genere i matematici sono sempre così, a meno che non facciano matematica applicata, cioè che non siano economisti o informatici. Ma il matematico cosiddetto puro, cioè quello che costruisce teorie, lui fa il suo lavoro e poi dice: “ho costruito questo strumento, ma a me non me ne frega niente di cosa farne”, anzi, spesso si arrabbia o mette le mani avanti quando vede che c’è troppa gente che le applica a troppe cose. Questo è il tipo, diciamo, tradizionale di matematico, ma se lo confrontiamo con un altro tipo di matematico, quello che pensa alle applicazioni, vediamo che il comportamento è tutto diverso. Un esempio tipico e abbastanza recente è la scoperta dei frattali, opera di un matematico di origine polacca che lavora negli USA, e si chiama Benoît Mandelbrot…


Ilaria Beretta. Catastrofe a cuspide, installazione nel parco artistico Artesella, Trento, 2009 - Legno, ferro,acciaio, cm. 900x600x400

Ilaria Beretta. Catastrofe a cuspide, installazione nel parco artistico Artesella, Trento, 2009 - Legno, ferro,acciaio, cm. 900x600x400

– Cioè c’è chi pensa a uno scopo pratico?
– Eh sì. Mandelbrot scoprì la matematica frattale (sviluppando delle ricerche dell’Ottocento su oggetti matematici abbastanza bizzarri) intorno alla metà degli anni Settanta, approfittando dei primi strumenti di visualizzazione del computer, cioè il tubo catodico. E scoprì l’insieme che porta il suo nome, ma si divertì da subito, lui per primo, ad applicare questi frattali a cose diversissime, dalla distribuzione dei rumori lungo una linea telefonica, ai crateri sulla luna, all’andamento della borsa, a tutta una serie disparatissima di fenomeni.
Mentre Mandelbrot era contento di fare questa cosa, Thom era invece molto più cauto, però bisogna dire che era stato lui per primo che aveva quasi incoraggiato queste applicazioni, perché era stato il primo a dire che la sua teoria doveva servire a costruire una matematica capace di descrivere fenomeni che la matematica precedente non poteva affrontare.
Certo, forse le prime applicazioni della teoria delle catastrofi di Thom furono un po’ azzardate. Forse perché si prefiggevano di spiegare dei fenomeni sociali, che sono particolarmente complessi. Ogni volta che costruisci un modello di un evento devi scegliere quali parametri modellizzare. E in una cosa così complessa come l’interazione sociale, ci sarà bisogno, che ne so, dico a vanvera, di 57 o 121 o 1028 parametri, non è gestibile. Allora, per fare una teoria matematica decente devi restringere i parametri, e allora forse riesci a descrivere davvero…
– … com’è in realtà la cosa.
– Be’, però se i parametri sono troppo pochi la descrizione può risultare troppo povera e non ti fa prevedere nulla. È il tema della complessità, ed è un problema che tutta la scienza ha sempre avuto. Per questo è così difficile che la meteorologia sia una scienza esatta: tu fai un modello, ma le variabili sono tante per cui il modello che fai è sempre troppo povero rispetto a come le nuvole si muovono davvero. Per cui dici, sì, domani forse c’è il sole, però fai delle previsioni vaghe. Certamente la situazione adesso è migliorato perché usano modelli matematici sempre più precisi.
– Infatti vedo che la teoria di Thom è spesso citata insieme alla teoria del caos…
– Sì, sono tutte teorie che nascevano per avere strumenti capaci di rispondere meglio a nuovi problemi, teorici e pratici, e si svilupparono più o meno tutte nello stesso periodo, tra la fine dei Sessanta e l’inizio dei Settanta. Fra tutte, quella che forse ha avuto maggior successo e diffusione è stata la matematica dei frattali. Ma anche perché i frattali sono stati applicati quasi subito, dopo pochi anni, in campi come il cinema… Adesso, per esempio, nei film è molto diffusa la pratica di fare i paesaggi in computer grafica con modelli frattali: montagne, nuvole, elementi del genere, spesso non vengono girati dal vero, ma disegnati con i frattali, ed è difficile accorgersi della differenza.
Per questo, e per altri motivi, forse Mandelbrot si è “venduto” meglio di Thom da questo punto di vista. Thom ha avuto moltissimo successo negli ambienti intellettuali, ma la teoria delle catastrofi non ha avuto molto successo dal lato commerciale, come hanno avuto invece i frattali.
Ora, per tornare invece alle teorie del caos o della complessità, queste sono state un tentativo ancora più generale di costruire un nuovo paradigma per fenomeni difficilmente modellizzabili con le teorie matematiche e fisiche tradizionali, compresi i problemi che riguardano la scienza della mente, fenomeni come la coscienza, il sorgere della coscienza, la continuità fra mente e corpo, ecc. Quindi le teorie della complessità riguardano anche campi di ricerca come l’intelligenza artificiale.
La teoria delle catastrofi era molto più “matematica”, per certi versi più tradizionale, sia dei frattali che del caos, quindi dopo un po’ ebbe… insomma, cadde un po’ nel dimenticatoio, però certamente molti continuano a applicarla.
E resta il fatto che la teoria delle catastrofi forse fu la prima teoria che si riprometteva di fornire modelli, o strumenti per la modellizzazione, di fenomeni per i quali la matematica del continuo era, per così dire, impotente.
Thom ha fatto molti esempi in varie occasioni, sia nei suoi libri che in altri articoli, che allora ci sembravano provocatori ma promettenti. Uno dei più bizzari, che mi ricordo
meglio anche perché poi l’ho utilizzato (solo come titolo) per fare una cosa abbastanza buffa in uno spettacolo teatrale, era quello della birra. Diceva Thom: “Noi non abbiamo una matematica che ci descriva come si formano le bollicine della birra”.
Cioè, con la nostra matematica, siamo in grado di spiegare i liquidi che stanno in quiete o in movimento, per così dire, tranquillo, o anche tumultuoso: abbiamo l’idrostatica e l’idrodinamica che ci spiegano come si comportano i liquidi in varie situazioni. Però ci sono alcuni fenomeni  nei quali la nostra matematica tradizionale è totalmente impotente, che non riusciamo a modellizzare: ad esempio, come si forma la schiuma della birra.
Allora, la formazione della schiuma della birra è obbiettivamente un fenomeno strano. Non sono le bollicine di aria o di anidride carbonica che si formano ma scompaiono quasi subito, no, la schiuma della birra rimane lì molto più a lungo, ed è, come dire, una specie di fase intermedia tra liquido e gassoso che ha bisogno di strumenti nuovi. Ecco perché Thom si chiedeva “dov’è una matematica della schiuma della birra?”. E proponeva la teoria delle catastrofi… probabilmente lì, nelle schiuma della birra, si creano tante piccole catastrofi: forse a farfalla, forse a cuspide, forse a ombelico, che, messe tutte insieme poi formano…
Però, vedi, anche qui, da un punto di vista descrittivo, anche per la schiuma della birra i frattali funzionano meglio; è un altro di quei fenomeni che i frattali descrivono benissimo.
Anche i frattali, che sono enti geometrici, possiamo considerarli una via di mezzo fra il continuo e il  discontinuo, ma dal punto di vista della dimensione.
Gli enti geometrici tradizionali, quelli di Euclide, hanno dimensioni intere. La linea ha dimensione 1, la superficie ha dimensione 2, lo spazio ha dimensione 3. Tutte le linee, quando posso descriverle con un’equazione matematica in coordinate cartesiane, anche se sono intricatissime e si ripiegano su se stesse, avranno sempre dimensione 1. Invece le linee frattali, che sono generate da operazioni matematiche ripetute un’infinità di volte ma proprio per questo non hanno un’equazione che le descriva, hanno invece dimensioni che non sono intere: che so, 1,5, o 1,2, o 0,1, o addirittura hanno come dimensione numeri irrazionali, cioè numeri non esprimibili in frazioni.
Ma proprio per questo servono benissimo a descrivere oggetti fisici che siano molto frastagliati, come una costa o l’insieme delle foglie di un albero. Se tu vuoi disegnare una costa su una carta geografica,  ovviamente devi fare un’astrazione, e perdere dei dettagli. Soltanto se usi una scala 1:1, puoi disegnare tutti gli anfratti e tutte le giravolte e i particolari di una costa, però in quel caso hai la famosa mappa di cui parla Borges, che è grande quanto il territorio, e quindi come mappa non serve a niente. Se fai anche soltanto una scala 1:2, perdi delle cose, perdi dei dettagli, dei particolari, quindi hai delle linee che sono semplificate rispetto alla vera linea della costa.
È un’esperienza comune. Prendi una carta geografica qualsiasi, anche molto dettagliata, anche una carta al 25.000, per esempio di un sentiero di montagna; quando la usi sul terreno, ogni volta vedi che quella piccola ansa sulla carta, risulta in effetti l’insieme di molte più anse, il sentiero cambia direzione e si avvolge su se stesso mille volte nella realtà, mentre la carta sembra dirti che in quel mezzo centimetro la direzione è costante o la curva è semplice.
Allora, la linea tradizionale in quel caso funziona quando sei a un certo livello di astrazione, ma non oltre, perché se vai un poco più in là non ti dà più informazioni; una linea dritta nel modello, un segmento di retta nella carta, nasconde in effetti una realtà molto più ricca, complessa e variegata.
Con i frattali invece tu hai una figura, che più la ingrandisci e più diventa aderente non tanto al tuo modello, ma alla realtà, al sentiero fisico che stai percorrendo. Ecco perché la forma delle coste può essere facilmente frattalizzata perché a ogni zummata cresce l’aderenza fra il modello e la realtà. Questo deriva dal fatto che i frattali hanno la cosiddetta “proprietà di autosomiglianza”, tale cioè che che se prendi un pezzettino della tua curva e lo ingrandisci, ritrovi la stessa struttura generale dell’ intera figura.
In termini tecnici si dice che un frattale ha una struttura ricorsiva.
Le strutture di Thom non sono ricorsive, e questo forse è il loro limite, che poi è il limite di tutti i grandi modelli della continuità, che modellizzano punto per punto, e devono far ricorso a equazioni per descrivere il comprtamento di un sistema.
Per fare un modello morfogenetico della schiuma della birra, per esempio, tu avresti dovuto scrivere un’equazione specifica per ogni singola bollicina della birra.
Con un frattale tu non spieghi nulla, forse descrivi anche meno bene, però dai una rappresentazione grafica molto più facile, con una figura sola che costruisci in un certo modo, e poi, man mano che ingrandisci, questa aderisce sempre di più alla forma reale dell’oggetto, perché è auto somigliante. Perché man mano che tu vai nelle pieghe, quindi cambi scala e ingrandisci, trovi che ad ogni passo la forma dell’oggetto frattale si riproduce.
Quindi la matematica frattale va benissimo per descrivere forme e fenomeni molto frastagliati, mentre la matematica di Thom è più adatta ad analizzare superfici e volumi, per così dire, più distesi anche se altrettanto complessi, come le cose che si fanno nella pittura e nella scultura, perché si riesce, come dire, a far risaltare questi cambi di orientamento della superficie, questi punti di svolta etc.
Resta il fatto che l’intenzione di Thom era molto interessante, era quella di dare una matematica molto più “realistica”, cioè che si avvicinasse di più ai fenomeni difficilmente modellizzabili con la matematica tradizionale. E bisogna anche dire che i problemi da cui Thom partiva, come dice egli stesso, erano di tipo biologico, riguardavano la genesi della forme biologiche.
Sul piano delle forme, la storia dei rapporti tra biologia e matematica è molto antica; se prendi quella famosa conchiglia che si chiama Nautilus, vedi che è una bellissima spirale logaritmica, proprio perfetta. Non ci sono molte di queste forme in natura, ma  l’interesse di Thom era proprio quello di spiegare fenomeni di questo tipo naturale, delle forme naturali. Infatti uno dei libri che lui cita come ispirazione del suo lavoro è un libro di un biologo dei primi del Novecento, D’Arcy W. Thomson, On Grow and Form (Crescita e forma), che cercava di dare una descrizione e una spiegazione delle forme degli esseri viventi in senso dinamico.
Thom è un personaggio veramente curioso, indubbiamente matematico ma aperto a interessi vastissimi, con preoccupazioni…
– Uno sguardo rivolto alla realtà, forse?
– Sì, curioso della realtà, attento anche ai particolari, insomma era molto più “concreto” di quanto non siano di solito i matematici.
– Perché sono più astratti?
– Sì, il fatto che lui sia un matematico che non si nutre soltanto di matematica, forse spiega anche un po’ il successo che la sua teoria ha avuto fra i non matematici.
– Anche a me ha attirato da quel punto di vista. Volevo chiederle però se anche lei trova
 un rapporto tra… tra questo rendere virtuale la realtà attraverso la ricerca di nuove teorie, e il tema della rete. Se ci si può vedere un’associazione o se invece è un azzardo? 
Perché a me pare che questa astrazione…
– Ma tu, come la vedi? Spiegati meglio.
– Cioè, io la vedevo anche da questo punto di vista. La rete applicabile all’architettura, alla
 società, all’arte, a tutte queste cose. Però anche a un livello più astratto, nel senso che si può sintetizzare in una forma e, anche quando diventata virtuale con le nuove tecnologie,
 continua a essere un modello. A me questa trasformazione pare di averla vista.
– Quello che dici, in termini molto generali, è certamente pertinente.
Quello che si può dire è che dietro a ogni cosa, volendo, c’è una forma, e quindi un modello di tipo matematico che va dal semplice modello, diciamo “descrittivo”, al modello funzionale.
Da quando è nata la scienza moderna, prima con Galileo e poi con Newton, le cose in campo scientifico funzionano così: si costruiscono modelli astratti operando una selezione dei tratti pertinenti, cioè creando criteri di pertinenza, dicendo: “Questa è una cosa pertinente, quindi la metto nel mio modello perché è utile per descrivere l’essenziale della situazione. Quest’altro è un tratto, non inutile, ma diciamo superfluo a questo livello della descrizione, quindi lo posso trascurare”.
Ora, certamente da un certo punto di vista anche quello della rete funziona come un modello, sia per la rete telematica che per altri tipi di rete. La connessione di più individui su un piano, almeno astrattamente, di parità, è ciò che oggi intendiamo per rete: quindi non un sistema come quello televisivo, dove c’è solo uno che parla e tutti noi stiamo ad ascoltare. La rete non ha un unico centro, è acefala, in qualche modo è quello che Deleuze e Guattari chiamarono il rizoma.
Questa figura, questa rete di radici che si estendono sottoterra in cui non ci sono nodi privilegiati ma tutti possono comunicare con tutti, be’, questo modello non è completamente nuovo, perché di reti fatte così ce ne sono sempre state: reti di relazioni, letterarie, scientifiche, comunità di avventurieri e di pensatori. Ma oggi c’è una grossa novità, ed è la dimensione di questa rete. Tutte le reti che conoscevamo sinora sono state tutte a livello locale: il livello globale c’era, in qualche modo, ma era un livello che stava nella nostra testa. Ci sentivamo “cittadini del mondo” (chi si sentiva di esserlo, naturalmente), però non avevamo la possibilità di sperimentare questo slogan come una condizione effettiva: a meno di fare un viaggio apposito, era difficile comunicare immediatamente con un irlandese, o con un papuaso…
– …e anche avere una visione totale…
– Certo, anche avere una visione totale. Per averla, bisognava operare a un livello di astrazione superiore a quello delle singole reti, perché tutte le reti erano locali.
La nascita di internet come fenomeno di massa, come fenomeno planetario, ribalta questa situazione. Questo era già stato intravisto da McLuhan prima che ci fosse internet, addirittura negli anni Sessanta, con la comparsa della rete elettrica. È certo però che internet ha dato un’impennata a questo processo, ha realizzato un passo avanti sostanziale.
La grande novità è che internet realizza una rete, virtuale sì, ma effettiva. I passaggi che occorrono per essere realmente collegati sono semplici e praticamente istantanei, dato che avvengono alla velocità della luce, e per la nostra esperienza questa velocità è praticamente infinita.
Ora, dietro a tutto questo c’è un’architettura, c’è un modello? Come ho detto prima, la teoria matematica dei grafi modellizza perfettamente qualsiasi rete, però se io mi limitassi a dire che internet funziona un grafo, sarebbe troppo poco.
Quello che è interessante è vedere se questa rete ha delle caratteristiche specifiche, se si può costruire un modello più pertinente, con più tratti, con più caratteristiche reali della rete; e questa è una cosa che alcuni scienziati stanno già facendo: il libro di Albert-László Barabási, Linked: The New Science of Network (tradotto in italiano come Link) è un tentativo in questo senso, che cerca di fornire un modello che spieghi non solo le caratteristiche morfologiche, strutturali, topologiche della rete, ma anche alcune caratteristiche comportamentali e relazionali delle rete stessa.
Questo a me pare interessante, quando si toccano campi del sapere differenti e si cerca di integrarli. Come stai facendo tu adesso, non ti pare?, quando tenti di applicare una teoria matematica a degli oggetti artistici.
Perché l’oggetto artistico nasce con altre intenzioni, nasce con un’intenzione espressiva; ovviamente l’arte si avvale di tecniche specifiche, prima c’erano le tecniche della pittura e della scultura, adesso si sono aggiunte quelle dell’immagine in movimento, le tecniche multimediali e così via. Ma le ricerche interdisciplinari a volte riescono a mostrare caratteristiche dei fenomeni artistici che prima non si erano viste, che non erano visibili, che non erano così chiare; la stessa cosa vale per le reti. Sempre con cautela, certo, cercando di non spararle troppo grosse, però il problema della connettibilità di questi vari campi è molto interessante. Anche perché tutta questa separazione tra l’arte, la scienza etc. è una cosa della modernità, e addirittura della modernità avanzata. Perché agli inizi della modernità non c’era: è forse un caso isolato, ma gli inventori della prospettiva, nel XV secolo, erano insieme matematici e artisti, pensa a Piero della Francesca, che si basa sugli studi di Luca Pacioli ma è in grado di dire la sua, a Leon Battista Alberti, per non dire Leonardo. E Galileo è insieme scienziato e letterato.
Poi le strade si separano… Quando nell’Ottocento nasce la geometria proiettiva, è chiaro che è una derivazione della prospettiva ottica, ma l’intenzione è già totalmente diversa, ai matematici non glie ne frega più niente della pittura né ai pittori della matematica.
Il fatto è che la matematica è una scienza strana, perché non ha mai conosciuto nessuna vera rivoluzione scientifica come la fisica o la biologia, nel senso di un cambiamento di paradigma. Quando Galileo e Newton costruiscono la fisica nuova, demoliscono la classica fisica aristotelica, è una vera rivoluzione. Dopo Newton non si può più interpretare il mondo con occhi aristotelici, le due visioni sono incompatibili. Poi, quando ai  primi del Novecento arriva Einstein, la teoria della relatività detronizza quella della gravitazione di Newton, quindi c’è un altro cambio di paradigma, per non parlare della meccanica quantistica.
Adesso, se una nuova teoria avrà successo, si avrà addirittura un terzo cambio di paradigma, che supererà e fonderà insieme relatività e meccanica quantistica nella teoria delle superstringhe…


Ilaria Beretta, Una catastrofe su sette 3, 2010 - Grafite, carta, cm.35x50

– …le superstringhe?
– Le superstringhe, è una teoria fisica che propone una nuova visione dello spazio a una dimensione ultramicroscopica, e dovrebbe conciliare due teorie fisiche che oggi sembrano inconciliabili, appunto la relatività generale e la teoria quantistica. È una teoria molto interessante ma matematicamente complessissima…
– E invece in matematica non ci sono questi punti fermi?
– Ecco, no. No, perché nella matematica ogni volta che c’è una teoria nuova, questa si aggiunge a quelle precedenti ma non le distrugge…
– Cioè, come quella dei frattali, che va più in profondità?
– In un certo senso sì, però non è che è incompatibile con quella di Euclide, quella di Euclide va benissimo per descrivere certi fenomeni, certi ambienti. Per altri vanno bene i frattali.
Ma anche quando sono state trovate le geometrie non euclidee, nell’Ottocento, anche in quel caso nessuno ha detto: “Adesso la geometria euclidea non vale più”, niente affatto! Si è scoperto che c’erano diverse possibilità logiche, non totalmente incompatibili con quelle precedenti. Il fatto è che la matematica non è una scienza sperimentale, quindi non deve rendere conto di nessuna esperienza; le applicazioni della matematica sì, ma la struttura matematica in quanto tale no, non deve, come dire, rispondere a dei dati di fatto. Le teorie fisiche e quelle biologiche sì, devono essere in accordo con i dati sperimentali, mentre la matematica no!
La matematica è una scienza ipotetico-deduttiva, che deve rispondere solo alla sua struttura logica: deve essere logicamente coerente, non deve essere contraddittoria, deve farti scoprire il maggior numero di verità possibile sugli oggetti che studia, non ha da essere più o meno in accordo coi fatti. La matematica si basa su alcuni assiomi, si costruisce a partire da degli assiomi, che si possono cambiare perché non hanno alcun obbligo di verosimiglianza. se tu cambi gli assiomi, hai un’altra teoria matematica che non è ne più vera, né meno vera dell’altra, è solo diversa.
– …ma è vera allo stesso modo.
– È vera allo stesso modo… in relazione ai nuovi assiomi che hai preso.
La geometria euclidea è costruita su cinque soli assiomi, tutti i teoremi si dimostrano partendo da lì. Le geometrie non euclidee sono geometrie che hanno i primi quattro
assiomi uguali alla geometria di Euclide, e al posto del quinto – quello delle parallele – ne hanno un altro, che è una delle possibili negazioni del quinto assioma di Euclide…
– Cambiando uno solo di questi?
– Cambiandone solo uno, ma in modi diversi, hai le due grandi geometrie non euclidee, quella parabolica e quella iperbolica che…
– …che però non escludono l’altra! 
– Certo, non la escludono. Naturalmente ognuna di queste geometrie serve a descrivere un mondo diverso: quella di Euclide il mondo terrestre che cade sotto i nostri occhi, quella di Riemann (ellittica) i grandi spazi cosmici della relatività generale, quella di Lobacevski (che è quella iperbolica) i microspazi della fisica delle particelle (non sempre, ma a volte). Ognuna ha, diciamo, un suo “dominio di validità”. Ma nessuna delle tre nega le altre due. Sono logicamente coerenti e indipendenti.
Poi ogni tanto arriva uno come Thom che dice: “Bene, costruiamo quest’altro strumento: morfogenesi; teoria delle catastrofi”. Ma non vuol dire che la matematica precedente non sia più valida o sia superata. Solo, alcune cose possono essere descritte meglio con questa nuova teoria.
Forse anche dietro la questione della rete c’è un’esigenza del genere. Forse l’oggetto rete è un buon oggetto per vedere se si può costruire un paradigma nuovo o dei legami nuovi tra un punto di vista scientifico e un punto di vista, diciamo, cognitivo o relazionale, insomma sociale e politico.
La rete ha tantissimi aspetti: aspetti di ti tipo morfologico, aspetti strutturali, poi ha un modo di funzionamento, e anche delle relazioni, diciamo, tra forma e contenuto, che paiono rimettere in discussione i modi di pensare tradizionali. Spesso di questo noi non ci rendiamo conto.
Ci sembra sempre di pensare allo stesso modo, o di pensare le stesse cose, e invece gli strumenti di simbolizzazione e di connessione col mondo cambiano sempre il nostro modo di pensare: è stato così per la scrittura, e poi per la televisione… E oggi succede la stessa cosa con il computer. Chi usa il computer cambia il modo di pensare di tutti, anche di coloro che non lo usano. Non è necessario usarlo per …
– Interferisce comunque.
– Certo, influisce sulle condizioni complessive di vita, sui paradigmi sociali, cognitivi, etici della società. La messa in rete dei computer, e, attraverso di essi, degli esseri umani, è una delle figure cardine della contemporaneità, e quindi è giusto in qualche maniera studiarla, fare delle ipotesi, connetterla con fenomeni anche apparentemente lontani. Con tutti gli strumenti possibili: informativi, filosofici, artistici.


Paolo Gallerani - Antonio Caronia, Aula 47 Accademia di Brera, fotografia di Ilaria Beretta
Libri citati nel testo: